La formulation mathématique générale des années remarquables.

J'appelle année remarquable, une année qui met en évidence une particularité intéressante: par exemple 2021 était une année dont les deux derniers chiffres correspondent à la valeur du siècle auquel elle appartient. J'écrivis à cette effet l'article "2021: une année mathématiquement remarquable".

Au commencement de notre ère, il y eut l’an zéro (0). Il se déroula du premier janvier au 31 décembre. Il s’agit de la première année du 1er siècle après Jésus Christ, lorsqu’on considère que notre ère débute en l’an zéro. Ce premier siècle s’écoula de l’an zéro jusqu’à l’an 99. Bien évidemment, il y eut d’autres années et d'autres ères bien avant. Par exemple l’Egypte de Toutankhamon s’écoula pendant 21 ans ; de l’an 1341 à l’an 1323 avant Jésus Christ. Plus de mille ans donc, avant notre ère. 

Je remonte aux années d’origine de notre ère, car elles sont essentielles pour la construction de la formulation mathématique générale des années remarquables. De quoi s’agit-il ?

Il s’agit de répondre à la question principale suivante:

Quelle est la forme mathématique générale de toutes années dont les derniers nombres sont donnés ?

Par exemple : quelle est la forme générale de toutes les années qui finissent par 0 ? Quelle est la forme générale de toutes les années qui finissent par 3 ? Quelle est la forme générale de toutes les années qui finissent par 23 ? Quelle est la forme générale de toutes les années qui finissent par 111 etc.

Il s’agit de répondre à la deuxième question suivante :

Comment peut-on retrouver une année de rang donné, dans un siècle du même rang; une année dont les derniers nombres sont donnés ?

Par exemple : comment retrouver la 21eme année du 21eme siècle qui finit par 0 ; comment retrouver celle qui finit par 3, comment retrouver celle qui finit par 23 ; comment retrouver celle qui finit par 111 etc.

Les exemples que je cite sont donnés à titre purement indicatif pour fixer les idées, sachant que ce qui est recherché, ce sont les formules générales qui permettent de répondre à la question principale et à la deuxième question.

Trouvons la formule générale permettant de répondre à la question principale : Quelle est la forme mathématique générale de toutes années dont les derniers nombres sont donnés ?

Supposons que nous recherchons la forme générale de toutes les années qui se terminent par le chiffre 0. Si nous listons quelques-unes de ces années, nous trouvons : 0, 10, 20, 30, …, 110, 1910, 1950, 2010, 2020, 2030,…8340 etc.

Il est aisé de remarquer que toutes ces années consécutives sont séparées par un écart de 10. Je généralise donc leur écriture avec la formule mathématique connue Un = U0 + 10 x n. avec U0 = 0. Si n = 202 par exemple, on retrouve U202 = 10 x 202. Ce qui fait 2020.

Autre supposition : supposons que nous recherchons la forme générale de toutes les années qui se terminent par le nombre 23. Si nous listons quelques-unes de ces années, nous trouvons : 23, 123, 223, 323, …, 723,… 1323,… 1923, 2023,…8023 etc.

Il est aisé de remarquer que toutes ces années consécutives sont séparées par un écart de 100. Je généralise donc leur écriture avec la formule mathématique connue Un = U0 + 100 x n. avec U0 = 23. Si n = 20 par exemple, on retrouve U20 = 23 + 100 x 20. Ce qui fait 2023.

Dernière supposition : supposons que nous recherchons la forme générale de toutes les années qui se terminent par le nombre 777. Si nous listons quelques-unes de ces années, nous trouvons : 777, 1777, 2777, 3777, …, 7777,… 10777 etc.

Il est aisé de remarquer que toutes ces années consécutives sont séparées par un écart de 1000. Je généralise donc leur écriture avec la formule mathématique connue Un = U0 + 1000 x n. avec U0 = 777. Si n = 15 par exemple, on retrouve U15 = 777 + 1000 x 15. Ce qui fait 15777.

A l’aide de toutes ces suppositions et en s’appuyant sur les constats effectués, nous déduisons qu’il existe une formule générale T qui dépend d’une année initiale dont les derniers nombres sont donnés (T0) et qui occupe une position n dans le rang des années finissant par (T0). Cette formule générale s’écrit :

Quelques exemples permettant de vérifier la formule :

Trouvons les années qui finissent avec le nombre premier 3 :

 avec T0 = 3 et x = 1. On trouve Tn = 3 + 10n. On trouve 3, 13, 33, 43…

 

Trouvons les années qui finissent avec le nombre 21 :

 avec T0 = 21 et x = 2. On trouve Tn = 21 + 100n. On trouve 21, 121, 321, …2021…

Trouvons les années qui finissent avec le nombre 777 :

 avec T0 = 777 et x = 3. On trouve Tn = 777 + 1000n. On trouve 777, 1777, 2777, …10777…

Trouvons la formule générale permettant de répondre à la deuxième question : Comment peut-on retrouver une année de rang donné, dans un siècle du même rang, et dont les derniers nombres sont donnés ?

Quelques exemples :

1. Quelle est la 1ere année au 1er siècle de notre ère se finissant par 0 ?
2. Quelle est la 3e année du 3e siècle qui se termine par 5 ?
3. Quelle est la 17e année au 17e siècle de notre ère se finissant par 33 ?
4. Quelle est la 13e année au 13e siècle de notre ère se finissant par 10 ?
5. Quelle est la 21e année au 21e siècle de notre ère se finissant par 23 ? 

Pour répondre à toutes ces questions, il suffit de poser la formule générale des années remarquables :

Généralisons la question :

Quelle est l’année Tn(x) de rang « a » au siècle « a » qui se termine par T0 ? Cette question introduit les conditions suivantes :

Tn(x) ≥ (a-1) 10² et Tn(x) ≤ a10² - 1

Pour la question 1 : Quelle est la 1ere année au 1er siècle de notre ère se finissant par 0 ?

On trouve : a=1 et notre condition devient : Tn(x) ≥ 0 et Tn(x) ≤ 99

On a ainsi 0+10n ≥ 0 et 0+10n ≤ 99 ce qui donne n ≥ 0 et n ≤ 99

n=0 permet de trouver l’année 0 qui est bien la 1ere année du 1er siècle se finissant par 0.

Pour la question 2 : Quelle est la 3e année du 3e siècle qui se termine par 5 ?

On trouve : a=3 et notre condition devient : Tn(x) ≥ 200 et Tn(x) ≤ 299

On a ainsi 5+10n ≥ 200 et 5+10n ≤ 299 ce qui donne n ≥ 20 et n ≤ 29

n=22 permet de trouver Tn(x) = T0 + 10 x 22 = 5 + 220 = 225. 225 est bien la 3eme année, qui est au 3e siècle et qui finit par 5.

Pour la question 3 : Quelle est la 17e année au 17e siècle de notre ère se finissant par 33 ?

On trouve : a=17 et notre condition devient : Tn(x) ≥ 1600 et Tn(x) ≤ 1699

On a ainsi 33+100n ≥ 1600 et 33+100n ≤ 1699 ce qui donne n ≥ 15 et n ≤ 16

n=16 permet de trouver Tn(x) = T0 + 100 x 16 = 33 + 1600 = 1633. 1633 est bien la 17eme année, qui est au 17e siècle et qui finit par 33.

Pour la question 4 : Quelle est la 13e année au 13e siècle de notre ère se finissant par 10 ?

On trouve : a=13 et notre condition devient : Tn(x) ≥ 1200 et Tn(x) ≤ 1299

On a ainsi 10+100n ≥ 1200 et 10+100n ≤ 1299 ce qui donne n ≥ 11 et n ≤ 12

n=12 permet de trouver Tn(x) = T0 + 100 x 12 = 10 + 1200 = 1210. 1210 est bien la 13eme année, qui est au 13e siècle et qui finit par 10.

Pour la question 5 : Quelle est la 21e année au 21e siècle de notre ère se finissant par 23 ?

On trouve : a=21 et notre condition devient : Tn(x) ≥ 2000 et Tn(x) ≤ 2099

On a ainsi 23+100n ≥ 2000 et 23+100n ≤ 2099 ce qui donne n ≥ 19 et n ≤ 20

n=20 permet de trouver Tn(x) = T0 + 100 x 20 = 23 + 2000 = 2023. 2023 est bien la 21eme année, qui est au 21e siècle et qui finit par 23.

Avec la formulation mathématique générale des années remarquables, nous avons montré qu’il existe une formule générale permettant d’écrire les années de notre ère en fonction du nombre de chiffres avec lesquels elle se finissent. Ces chiffres peuvent être des unités, des dizaines, des centaines, des milliers ou même des dizaines de milliers. Cette formulation générale donne l’écriture suivante :

Grâce à cette formulation générale des années remarquables, nous avons également répondu à la question de savoir : Quelle est l’année Tn(x) de rang « a » au siècle « a » qui se termine par T0 ? Cette question induit le respect des conditions suivantes :

Tn(x) ≥ (a-1) 10² et Tn(x) ≤ a10² - 1

Serge Mbarga Owona.

Mathématicien, écrivain, poète.

Auteur des ouvrage « Le jeu de Songo », « L’awalé », « Les jeux de calcul africains ».